Um dos erros conceituais mais frequentes em relatórios financeiros e scripts de análise de investimentos é calcular a média aritmética simples dos retornos anuais em vez da taxa composta anual de crescimento (CAGR).
1. Por que a média simples falha na presença de volatilidade
Imagine um portfólio que inicia com R$ 10.000. No ano 1, ele sobe 50% (vai para R$ 15.000). No ano 2, ele recua 50% (cai para R$ 7.500).
- Média aritmética: $(+50\% - 50\%) / 2 = 0\%$ (sugere capital preservado)
- Resultado real: perda líquida de R$ 2.500 (prejuízo de 25%)
A taxa geométrica equivalente que levaria R$ 10.000 a R$ 7.500 em 2 anos é dada pela fórmula do CAGR:
$$\text{CAGR} = \left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{\frac{1}{t}} - 1 = \left(\frac{7500}{10000}\right)^{\frac{1}{2}} - 1 = \sqrt{0{,}75} - 1 \approx -13{,}40\% \text{ ao ano}$$
A média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica (desigualdade das médias), e a diferença entre ambas cresce com o quadrado da volatilidade anual (aproximação de Edgeworth: $\mu_{\text{geom}} \approx \mu_{\text{arit}} - \sigma^2/2$).
2. Cuidados numéricos na implementação
Ao codificar o cálculo em Python ou JavaScript:
- Período fracionário: se o investimento tiver 2 anos e 3 meses, use $t = 2{,}25$ anos (ou a fração exata de dias via convenção ACT/365).
- Valor inicial ou final negativo: se $V_i \le 0$ ou $V_f \le 0$, a raiz $t$-ésima não produz número real no domínio padrão; retorne
NaNou trate explicitamente a falência.
Para verificar a taxa composta anual com tabela de crescimento passo a passo em português, utilize a Calculadora de CAGR do Miryori (em português).
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YMYL note: este conteúdo tem fins puramente educativos de modelagem matemática e não representa recomendação de investimento.
